Trong cuốn sách này, chúng tôi xem xét việc giảm mô hình cho các phương trình vi phân riêng phần parabol phụ thuộc tham số được định nghĩa trên các mạng có thành phần biến đổi. Đối với loại bài toán này, Phương pháp Phần tử Cơ sở Rút gọn (RBEM), được phát triển bởi Maday và Rønquist, là một lựa chọn hợp lý vì không cần thiết phải có lời giải trên toàn bộ miền. Phương pháp giảm dựa trên ý tưởng xây dựng một cơ sở rút gọn cho mỗi thành phần riêng lẻ và ghép nối các phần tử rút gọn bằng một phương pháp giống như vữa. Tuy nhiên, quy trình phân rã này có thể dẫn đến khó khăn, đặc biệt đối với các mạng bao gồm nhiều cạnh. Do thành phần biến đổi của các mạng, lời giải trên các giao diện cực kỳ khó dự đoán. Điều này có thể dẫn đến các hàm cơ sở không phù hợp và các xấp xỉ kém của các lời giải toàn cục. Trên cơ sở các mạng bao gồm các miền một chiều, chúng tôi trình bày một phần mở rộng của RBEM nhằm khắc phục vấn đề này và cung cấp một biểu diễn cơ sở tốt cho mỗi cạnh riêng lẻ. Về cơ bản, phần mở rộng này sử dụng tham số hóa biên dựa trên spline trong việc xây dựng cơ sở cục bộ. Để chứng minh tính chất xấp xỉ của biểu diễn cơ sở lên nghiệm toàn cục, chúng tôi phát triển một ước lượng sai số cho việc xây dựng cơ sở cục bộ bằng phương pháp Phân rã Trực giao Chính xác (POD) hoặc POD-Tham lam. Ngoài ra, chúng tôi cung cấp các kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và tính đều đặn cho các phương trình vi phân riêng phần parabol trên mạng lưới với miền một chiều, điều cần thiết cho việc phân tích sai số. Cuối cùng, chúng tôi minh họa phương pháp của mình bằng ba ví dụ. Ví dụ đầu tiên tương ứng với lý thuyết đã trình bày và cho thấy hai mạng lưới khác nhau của các phương trình nhiệt một chiều với độ dẫn nhiệt thay đổi. Bài toán thứ hai và thứ ba chứng minh khả năng mở rộng của phương pháp cho các miền dựa trên thành phần trong hai chiều hoặc các phương trình vi phân riêng phần phi tuyến. Đây là một phần của dự án nghiên cứu Tối ưu hóa theo vòng đời cho cơ sở hạ tầng tiết kiệm tài nguyên và năng lượng, được tài trợ bởi Bộ Giáo dục và Nghiên cứu Liên bang Đức.

Abstract:

This books, we consider model reduction for parameter dependent parabolic PDEs defined on networks with variable composition. For this type of problem, the Reduced Basis Element Method (RBEM), developed by Maday and Rønquist, is a reasonable choice as a solution on the entire domain is not required. The reduction method is based on the idea of constructing a reduced basis for every individual component and coupling the reduced elements using a mortar-like method. However, this decomposition procedure can lead to difficulties, especially for networks consisting of numerous edges. Due to the variable composition of the networks, the solution on the interfaces is extremely difficult to predict. This can lead to unsuitable basis functions and poor approximations of the global solutions. On the basis of networks consisting of one-dimensional domains, we present an extension of the RBEM which remedies this problem and provides a good basis representation for each individual edge. Essentially this extension makes use of a splinebased boundary parametrization in the local basis construction. To substantiate the approximation properties of the basis representation onto the global solution, we develop an error estimate for local basis construction with Proper Orthogonal Decomposition (POD) or POD-Greedy. Additionally, we provide existence, uniqueness and regularity results for parabolic PDEs on networks with one-dimensional domains, which are essential for the error analysis. Finally, we illustrate our method with three examples. The first corresponds to the theory presented and shows two different networks of one-dimensional heat equations with varying thermal conductivity. The second and third problem demonstrates the extensibility of the method to component based domains in two dimensions or nonlinear PDEs. These were parts of the res