Tóm tắt nội dung
Vấn đề tái cấu trúc một hình dạng hình học từ phổ của các toán tử (như toán tử Laplace) đã tồn tại hàng thập kỷ và là một lĩnh vực nghiên cứu tích cực trong toán học và vật lý toán học. Cuốn sách này tập trung vào trường hợp các đa tạp Riemann compact, và đặc biệt là câu hỏi liệu có thể tìm thấy hữu hạn các toán tử tự nhiên xác định xem hai đa tạp như vậy có đẳng cự (phủ) hay không. Các phương pháp được trình bày trong cuốn sách phù hợp với truyền thống của công trình nổi tiếng của Sunada về việc xây dựng các đa tạp đẳng phổ nhưng không đẳng cự, và do đó không tập trung vào các kỹ thuật phân tích, mà tập trung vào các phương pháp đại số: đặc biệt là sự tương tự với các cấu trúc trong lý thuyết số, các phương pháp từ lý thuyết biểu diễn và từ tôpô đại số. Mục tiêu chính của cuốn sách là trình bày việc xây dựng hữu hạn các toán tử Laplace xoắn có phổ xác định sự tương đương phủ của hai đa tạp Riemann. Cuốn sách có nhịp điệu chậm rãi và trình bày chi tiết cũng như các ví dụ khó tìm thấy trong tài liệu, liên quan đến: tích sợi của đa tạp và đa tạp quỹ đạo, sự phân biệt giữa phổ và hàm zeta phổ cho các toán tử tổng quát, tính đẳng phổ mạnh, toán tử Laplace xoắn, tác động của các nhóm đẳng cự lên các nhóm đồng điều, cấu trúc đơn thức trên các biểu diễn nhóm, hiện thực hóa hình học và lý thuyết nhóm của các phủ với tích vòng xoắn làm nhóm phủ, và “lý thuyết trường lớp” cho đa tạp. Cuốn sách chứa đựng nhiều ví dụ đã được giải và các vấn đề mở. Sau khi đọc xong cuốn sách, người đọc sẽ có được kiến thức thực tiễn vững chắc về phương pháp đại số đối với tính đẳng phổ.
Abstract:
The question of reconstructing a geometric shape from spectra of operators (such as the Laplace operator) is decades old and an active area of research in mathematics and mathematical physics. This book focusses on the case of compact Riemannian manifolds, and, in particular, the question whether one can find finitely many natural operators that determine whether two such manifolds are isometric (coverings). The methods outlined in the book fit into the tradition of the famous work of Sunada on the construction of isospectral, non-isometric manifolds, and thus do not focus on analytic techniques, but rather on algebraic methods: in particular, the analogy with constructions in number theory, methods from representation theory, and from algebraic topology. The main goal of the book is to present the construction of finitely many “twisted” Laplace operators whose spectrum determines covering equivalence of two Riemannian manifolds. The book has a leisure pace and presents details and examples that are hard to find in the literature, concerning: fiber products of manifolds and orbifolds, the distinction between the spectrum and the spectral zeta function for general operators, strong isospectrality, twisted Laplacians, the action of isometry groups on homology groups, monomial structures on group representations, geometric and group-theoretical realisation of coverings with wreath products as covering groups, and “class field theory” for manifolds. The book contains a wealth of worked examples and open problems. After perusing the book, the reader will have a comfortable working knowledge of the algebraic approach to isospectrality.
Sử dụng ứng dụng Libol Bookworm quét QRCode này để mượn và đọc tài liệu)
(Lưu ý: Sử dụng ứng dụng Bookworm để xem đầy đủ tài liệu. Bạn đọc có thể tải Bookworm từ App Store hoặc Google play với từ khóa "Libol Bookworm”)